3.3: Перетасовка карт

08.09.2021

Учитывая колоду из \ (n \) карт, сколько раз мы должны перетасовать ее, чтобы сделать ее «случайной»? Конечно, ответ зависит от используемого метода перемешивания и того, что мы подразумеваем под «случайным». Мы начнем изучение этого вопроса с рассмотрения стандартной модели перестановки.

Мы начинаем с колоды из \ (n \) карт, которые, как мы предполагаем, помечены в порядке возрастания целыми числами от 1 до \ (n \). Рифлевая тасовка состоит из разделения колоды на две стопки и чередования двух стопок. Например, если \ (n = 6 \), первоначальный порядок равен \ ((1, 2, 3, 4, 5, 6) \), и между картами 2 и 3 может произойти разрез. стеки, а именно \ ((1, 2) \) и \ ((3, 4, 5, 6) \). Они чередуются, чтобы сформировать новый порядок колоды. Например, эти две стопки могут образовывать порядок \ ((1, 3, 4, 2, 5, 6) \). Чтобы обсудить такие тасовки, нам нужно назначить распределение вероятностей набору всех возможных тасовок. Есть несколько разумных способов сделать это. Мы дадим несколько различных стратегий назначения и покажем, что они эквивалентны.(Это не означает, что это назначение является единственно разумным.) Во-первых, мы присваиваем биномиальную вероятность \ (b (n, 1/2, k) \) тому событию, что разрез происходит после \ (k \) -я карта. Далее мы предполагаем, что все возможные чередования при данном разрезе равновероятны. Таким образом, чтобы завершить назначение вероятностей, нам нужно определить количество возможных чередований двух стопок карт с \ (k \) и \ (nk \) картами соответственно.

Мы начинаем с того, что записываем вторую стопку в строку, с пробелами между каждой парой последовательных карт и с пробелами в начале и в конце (так что есть \ (n-k + 1 \) пробелов). Выбираем с заменой \ (k \) этих мест и кладем карты из первой стопки в выбранные места. Это можно сделать в

способами. Таким образом, вероятность данного перемежения должна быть

Затем мы отмечаем, что если новый порядок не является порядком идентичности, он является результатом уникальной пары разрез-чередование. Если новый порядок совпадает с тождеством, это результат любой из \ (n + 1 \) пар разрезания-чередования.

Мы определяем a in a order как максимальную подпоследовательность последовательных целых чисел в порядке возрастания. Например, в порядке \ [(2, 3, 5, 1, 4, 7, 6) \, \] есть 4 восходящие последовательности; это \ ((1) \), \ ((2, 3, 4) \), \ ((5, 6) \) и \ ((7) \). Легко видеть, что упорядочение является результатом случайного перемешивания, применяемого к упорядочиванию идентичности тогда и только тогда, когда оно имеет не более двух восходящих последовательностей. (Если упорядочение имеет две восходящие последовательности, то эти восходящие последовательности соответствуют двум стопкам, индуцированным разрезанием, а если упорядочение имеет одну восходящую последовательность, то это тождественное упорядочение.) Таким образом, пространство отсчетов порядков, полученное путем применения случайный переход к порядку идентичности естественным образом описывается как набор всех порядков с не более чем двумя восходящими последовательностями.

Теперь этому пространству выборки легко присвоить распределение вероятностей. Каждому порядку с двумя возрастающими последовательностями присваивается значение

и упорядочиванию идентичности присваивается значение

Есть еще один способ просмотреть перемешивание. Мы можем представить, что начнем с колоды, разрезанной на две стопки, как и раньше, с тем же назначением вероятностей, что и раньше, то есть с биномиальным распределением. Когда у нас есть две стопки, мы берем карты, одну за другой, из нижней части двух стопок, и кладем их в одну стопку. Если в какой-то момент этого процесса есть \ (k_1 \) и \ (k_2 \) карты, соответственно, в двух стопках, то мы делаем предположение, что вероятность того, что следующая карта, которую нужно взять, поступит из данной стопки, равна пропорционально текущему размеру стека. Это означает, что вероятность того, что мы возьмем следующую карту из первой стопки, равна

и соответствующая вероятность для второй стопки равна

Теперь мы покажем, что этот процесс приписывает равномерную вероятность каждому из возможных чередований двух стопок.

Предположим, например, что чередование произошло в результате выбора карт из двух стопок в некотором порядке. Вероятность того, что этот результат произошел, является произведением вероятностей в каждой точке процесса, поскольку предполагается, что выбор карты в каждой точке не зависит от предыдущих выборов. Каждый фактор этого продукта имеет форму

где \ (i = 1 \) или \ (2 \), а знаменатель каждого множителя равен количеству карт, оставшихся для выбора. Таким образом, знаменатель вероятности равен \ (n! \). В момент, когда карта выбирается из стопки, в которой находится \ (i \) карт, числитель соответствующего множителя вероятности равен \ (i \), а количество карт в этой стопке уменьшается на 1. Таким образом, числитель оказывается \ (k! (Nk)! \), Поскольку в конечном итоге выбираются все карты в обеих стопках. Следовательно, этот процесс присваивает вероятность \ [ >>\]

к каждому возможному чередованию.

Теперь обратимся к вопросу о том, что происходит, когда мы перемешиваем тасование \ (s \) раз. Должно быть ясно, что если мы начнем с упорядочения идентичности, мы получим упорядочение не более чем с \ (2 ^ s \) восходящими последовательностями, поскольку случайное перемешивание создает не более двух восходящих последовательностей из каждой восходящей последовательности в начальном порядке. На самом деле нетрудно видеть, что каждый такой порядок является результатом тасования \ (s \) тасования. Тогда возникает вопрос, сколькими способами может происходить упорядочение с \ (r \) восходящими последовательностями путем применения \ (s \) перемешивания тасовки к порядку идентичности? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к идее \ (a \) - перемешивания.

\ (a \) - перемешивает

Есть несколько способов визуализировать \ (a \) - перемешивание. Один из способов - представить существо с \ (a \) руками, которому дается колода карт для перемешивания. Существо естественным образом разрезает колоду на \ (a \) стопки, а затем смешивает их вместе. (Представьте себе это!) Таким образом, обычное перемешивание - это 2-разовое перемешивание. Как и в случае с обычным 2-тасованием, мы позволяем некоторым стопкам иметь по 0 карт. Другой способ визуализировать \ (a \) - перемешивание - это подумать о его обратном, называемом \ (a \) - перемешивании. Эта идея описана в доказательстве следующей теоремы.

Теперь мы покажем, что \ (a \) - перемешивание, за которым следует \ (b \) - перемешивание, эквивалентно \ (ab \) - перемешиванию. Это, в частности, означает, что последовательная тасовка \ (s \) эквивалентна одной \ (2 ^ s \) - перетасовке. Эта эквивалентность уточняется следующей теоремой.

[thm 3.3.1] Пусть \ (a \) и \ (b \) - два натуральных числа. Давайте_ \) будет набором всех упорядоченных пар, в которых первая запись - это \ (a \) - перемешивание, а вторая запись - это \ (b \) - перемешивание. Давайте_ \) - множество всех \ (ab \) - перемешиваний. Тогда существует соответствие 1-1 между \ (S_ \) и \ (S_ \) со следующим свойством. Предположим, что \ ((T_1, T_2) \) соответствует \ (T_3 \). Если \ (T_1 \) применяется к порядку идентичности, а \ (T_2 \) применяется к результирующему порядку, то окончательный порядок совпадает с порядком, который получается путем применения \ (T_3 \) к порядку идентичности . Самый простой способ описать требуемую корреспонденцию - это перестановка. \ (A \) - перетасовка начинается с колоды из \ (n \) карт. Одна за другой карты берутся из верхней части колоды и с равной вероятностью помещаются в нижнюю часть любой из стопок \ (a \), где стопки пронумерованы от 0 до \ (a-1 \). После того, как все карты были распределены, мы объединяем стопки в одну стопку, помещая стопку \ (i \) поверх стопки \ (i + 1 \) для \ (0 \ le i \ le a-1 \ ). Легко увидеть, что если начать с колоды,есть ровно один способ разрезать колоду, чтобы получить стеки \ (a \), сгенерированные \ (a \) - unshuffle, и с этими стеками \ (a \) есть ровно один способ чередовать их, чтобы получить колода в том порядке, в котором она была до размешивания. Таким образом, эта \ (a \) - перетасовка соответствует уникальной \ (a \) - перетасовке, и эта \ (a \) - перетасовка является обратной по отношению к исходной \ (a \) - перетасовке.

Если мы применим \ (ab \) - unshuffle \ (U_3 \) к колоде, мы получим набор стопок \ (ab \), которые затем объединяются, чтобы сформировать одну стопку. Мы помечаем эти стопки упорядоченными парами целых чисел, где первая координата находится между 0 и \ (a-1 \), а вторая координата находится между 0 и \ (b-1 \). Затем мы маркируем каждую карту этикеткой ее стопки. Количество возможных меток равно \ (ab \), как требуется. Используя эту разметку, мы можем описать, как найти \ (b \) - unshuffle и \ (a \) - unshuffle, такие, что если эти две unhuffle применяются в указанном порядке к колоде, мы получаем тот же набор \ (ab \) стеки, полученные с помощью \ (ab \) - перетасовки.

Чтобы получить \ (b \) - перетасовать \ (U_2 \), мы сортируем колоду на \ (b \) стопки, причем \ (i \) -я стопка содержит все карты со второй координатой \ (i \) , для \ (0 \ le i \ le b-1 \). Затем эти стопки объединяются в одну стопку. \ (A \) - unshuffle \ (U_1 \) происходит таким же образом, за исключением того, что используются первые координаты меток. Полученные стопки \ (a \) затем объединяются в одну стопку.

Приведенное выше описание показывает, что все карты, оказавшиеся наверху, помечены как \ ((0, 0) \). За ними следуют обозначения \ ((0, 1), \ (0, 2), \) \ (\ \ ldots, \ (0, b - 1), \ (1, 0), \ (1,1 ), \ ldots, \ (a-1, b-1) \). Более того, относительный порядок любой пары карточек с одинаковыми этикетками никогда не меняется. Но это в точности то же самое, что и \ (ab \) - перетасовка, если в начале такой перетасовки мы помечаем каждую из карт одной из меток \ ((0, 0), \ (0, 1 ), \ \ ldots, \ (0, b-1), \ (1, 0), \ (1,1), \ \ ldots, \ (a-1, b-1) \). Это завершает доказательство.

На рисунке [рис. 3.14] мы показываем метки для 2-перетасовки колоды с 10 картами. Есть 4 карты с меткой 0 и 6 карт с меткой 1, поэтому, если выполняется 2-перетасовка, в первой стопке будет 4 карты, а во второй стопке - 6 карт. Когда эта перестановка выполняется, колода заканчивается в порядке идентичности.

На рисунке [рис. 3.15] мы показываем метки для 4-перетасовки одной и той же колоды (потому что используются четыре метки). Этот рисунок также можно рассматривать как пример пары 2-unhuffles, как описано в доказательстве выше. Первая 2-unshuffle будет использовать вторую координату меток для определения стопки. В этом случае две стопки содержат карты, значения которых равны

После того, как эта 2-перетасовка будет выполнена, колода будет в порядке, показанном на рисунке [рис. 3.14], как должен проверить читатель. Если мы хотим выполнить 4-перетасовку колоды, используя показанные метки, мы сортируем карты лексикографически, получая четыре стопки

Когда эти стопки объединяются, мы снова получаем идентичный порядок колоды. Суть приведенной выше теоремы заключается в том, что обе процедуры сортировки всегда приводят к одному и тому же начальному порядку.

Теорема 3.3.2.

Если \ (D \) - это любое упорядочение, которое является результатом применения \ (a \) - перетасовки, а затем \ (b \) - перетасовки к тождественному порядку, тогда вероятность, присвоенная \ (D \) этим пара операций совпадает с вероятностью, присвоенной \ (D \) процессом применения \ (ab \) - перемешивания к тождественному порядку. Вызовите образец пространства \ (a \) - перемешивает \ (S_a \). Если мы помечаем стопки целыми числами от \ (0 \) до \ (a-1 \), то каждая пара вырезание-чередование, то есть перемешивание, соответствует ровно одной \ (n \) -разрядной базе \ (a \ ) целое число, где \ (i \) -я цифра целого числа - это стопка, членом которой является \ (i \) -я карта. Таким образом, количество пар вырезание-чередование равно количеству \ (n \) -разрядных целых чисел с основанием \ (a \), то есть \ (a ^ n \). Конечно, не все эти пары приводят к разному порядку.Количество пар, ведущих к заданному порядку, будет обсуждаться позже. Для наших целей достаточно указать, что именно пары вырезание-чередование определяют присвоение вероятности.

Предыдущая теорема показывает, что существует соответствие 1-1 между \ (S_ \) и \ (S_ \). Более того, соответствующие элементы задают такой же порядок, когда применяются к упорядочиванию идентификаторов. Для любого порядка \ (D \) пусть \ (m_1 \) будет количеством элементов \ (S_ \), что в применении к порядку идентичности приводит к \ (D \). Пусть \ (m_2 \) будет количеством элементов \ (S_ \), что в применении к порядку идентичности приводит к \ (D \). Из предыдущей теоремы следует, что \ (m_1 = m_2 \). Таким образом, оба набора присваивают вероятность

в \ (D \). Это завершает доказательство.

Связь с проблемой дня рождения

Есть еще один момент, который можно сделать относительно ярлыков, которые даются картам в результате последовательных перетасовок. Предположим, что мы 2-перетасовываем \ (n \) - колоду карт до тех пор, пока метки на всех картах не станут разными. Легко видеть, что этот процесс производит каждую перестановку с одинаковой вероятностью, т. Е. Это случайный процесс. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если метки становятся разными на \ (s \) th 2-unshuffle, то эту последовательность 2-unshuffle можно рассматривать как одну \ (2 ^ s \) - unshuffle, в которой все в стопках, определенных путем перетасовки, есть не более одной карты (помните, стопки соответствуют меткам). Если в каждой стопке есть не более одной карты, то с учетом любых двух карт в колоде с равной вероятностью первая карта имеет более низкий или более высокий ярлык, чем вторая карта. Таким образом,каждый возможный порядок с одинаковой вероятностью будет результатом этой \ (2 ^ s \) - перетасовки.

Пусть \ (T \) будет случайной величиной, которая считает количество 2-перетасовок, пока все метки не станут разными. Можно представить себе \ (T \) как меру того, сколько времени требуется в процессе перетасовки, пока не будет достигнута случайность. Поскольку перемешивание и перестановка являются обратными процессами, \ (T \) также измеряет количество перемешиваний, необходимых для достижения случайности. Предположим, что у нас есть \ (n \) - колода карт, и мы просим \ (P (T \ le s) \). Это равно \ (1 - P (T>s) \). Но \ (T>s \) тогда и только тогда, когда не все метки после \ (s \) 2-перетасовок различны. Это просто проблема дня рождения; мы спрашиваем вероятность того, что по крайней мере два человека имеют один и тот же день рождения, учитывая, что у нас \ (n \) человек и есть \ (2 ^ s \) возможных дней рождения. Используя нашу формулу из примера [экзамен 3.3], мы находим, что

В главе [глава 6] мы определим среднее значение случайной величины. Используя эту идею и приведенное выше уравнение, можно вычислить среднее значение случайной величины \ (T \) (см. Упражнение [раздел 6.1]. [Упражнение 6.1.42]). Например, если \ (n = 52 \), то среднее значение \ (T \) составляет около 11,7. Это означает, что в среднем требуется около 12 перетасовок, чтобы процесс считался случайным.

Пары с чередованием и упорядочения

Как было отмечено в доказательстве теоремы [thm 3.3.2], не все пары разрезание-чередование приводят к разному порядку. Однако есть простая формула, которая дает количество таких пар, которые приводят к заданному порядку.

[thm 3.3.3] Если порядок длины \ (n \) имеет \ (r \) возрастающие последовательности, то количество пар вырезание-чередование под \ (a \) - перемешиванием идентичности порядка, которое приводит к заказ

Чтобы понять, почему это так, нам нужно подсчитать количество способов, которыми может быть выполнено разрезание в \ (a \) - перемешивании, которое приведет к заданному порядку с \ (r \) восходящими последовательностями. Мы можем игнорировать чередования, поскольку после того, как разрез был сделан, самое большее одно чередование приведет к заданному порядку. Поскольку данный порядок имеет \ (r \) возрастающие последовательности, определяется \ (r-1 \) точек деления в разрезе. Остальные \ (a - 1 - (r - 1) = a - r \) точки деления можно разместить где угодно. Количество мест для размещения этих оставшихся точек деления равно \ (n + 1 \) (что является количеством пробелов между последовательными парами карт, включая позиции в начале и конце колоды). Эти места выбираются с возможностью повторения, поэтому количество способов сделать этот выбор ограничено.

В частности, это означает, что если \ (D \) является порядком, который является результатом применения \ (a \) - перемешивания к тождественному порядку, и если \ (D \) имеет \ (r \) восходящие последовательности, то вероятность, присвоенная \ (D \) этим процессом, равна

Это завершает доказательство.

Вышеупомянутая теорема показывает, что существенная информация о вероятности, присвоенной упорядочиванию при \ (a \) - перемешивании, - это просто количество возрастающих последовательностей в порядке. Таким образом, если мы определим количество порядков, которые содержат ровно \ (r \) возрастающие последовательности, для каждого \ (r \) между 1 и \ (n \), то мы определим функцию распределения случайной величины, которая состоит из применения случайного \ (a \) - перемешивания к тождественному порядку.

Число порядков \ (\ \) с \ (r \) возрастающими последовательностями обозначается \ (A (n, r) \) и называется числом Эйлера. Есть много способов вычислить значения этих чисел; следующая теорема дает один рекурсивный метод, который непосредственно следует из того, что мы уже знаем о \ (a \) - перемешивании.

[thm 3.3.4] Пусть \ (a \) и \ (n \) - натуральные числа. Затем

Второе уравнение может использоваться для вычисления значений чисел Эйлера и сразу следует из уравнения [уравнение 3.6]. Последнее уравнение является следствием того факта, что единственное упорядочение \ (\ \) с одной восходящей последовательностью является тождественным порядком. Таким образом, осталось доказать уравнение [уравнение 3.6]. Мы будем считать набор \ (a \) - тасовок колоды с \ (n \) картами двумя способами. Во-первых, мы знаем, что существует \ (a ^ n \) таких перетасовок (это было отмечено в доказательстве теоремы [thm 3.3.2]). Но есть \ (A (n, r) \) порядки \ (\ \) с \ (r \) возрастающими последовательностями, и теорема [thm 3.3.3] утверждает, что на каждый такой заказ приходится ровно

пары разрез-чередование, которые приводят к упорядочиванию. Следовательно, правая часть уравнения [уравнение 3.6] подсчитывает набор \ (a \) - тасовок \ (n \) - колоды карт. Это завершает доказательство.

Случайный порядок и случайные процессы

Теперь мы переходим ко второму вопросу, который был задан в начале этого раздела: что мы подразумеваем под «случайным» порядком? Несколько ошибочно думать о данном порядке как о случайном или не случайном. Если мы хотим выбрать случайный порядок из набора всех порядков \ (\ \), мы имеем в виду, что мы хотим, чтобы каждый порядок выбирался с одинаковой вероятностью, т. е. любой порядок является «случайным» "как и любой другой.

Слово «случайный» действительно следует использовать для описания процесса. Мы будем говорить, что процесс, который производит объект из (конечного) набора объектов, является случайным процессом, если каждый объект в наборе создается с одинаковой вероятностью посредством В данной ситуации объекты - это упорядочения, а процесс, который производит эти объекты, - это процесс перемешивания. Легко видеть, что никакое \ (a \) - перемешивание на самом деле не является случайным процессом, поскольку if \ (T_1 \) и \ (T_2 \) - это два упорядочения с разным количеством восходящих последовательностей, затем они создаются с помощью \ (a \) - тасования, применяемого к тождественному упорядочиванию, с разными вероятностями.

Расстояние вариации

Вместо того, чтобы требовать, чтобы последовательность перетасовок приводила к случайному процессу, мы определим меру, которая описывает, насколько далеко данный процесс находится от случайного процесса. Пусть \ (X \) будет любым процессом, который производит порядок \ (\ \). Определите \ (f_X (\ pi) \) как вероятность того, что \ (X \) произведет упорядочение \ (\ pi \). (Таким образом, \ (X \) можно рассматривать как случайную величину с функцией распределения \ (f \).) Пусть \ (\ Omega_n \) будет множеством всех порядков \ (\ \). Наконец, пусть \ (u (\ pi) = 1 / | \ Omega_n | \) для всех \ (\ pi \ in \ Omega_n \). Функция \ (u \) - это функция распределения процесса, который производит упорядочения и который является случайным. Для каждого порядка \ (\ pi \ in \ Omega_n \) величина \ [| f_X (\ pi) - u (\ pi) | \] представляет собой разницу между фактической и желаемой вероятностями, которые \ (X \) создает \ (\Пи\).Если мы просуммируем это по всем порядкам \ (\ pi \) и назовем эту сумму \ (S \), мы увидим, что \ (S = 0 \) тогда и только тогда, когда \ (X \) является случайным, и в противном случае \ (S \) положительный. Легко показать, что максимальное значение \ (S \) равно 2, поэтому мы умножим сумму на \ (1/2 \), чтобы значение попало в интервал \ ([0, 1] \). Таким образом, мы получаем следующую сумму как формулу для двух процессов: \ [\ parallel f_X - u \ parallel = \ sum_ | f_X (\ pi) - и (\ пи) | . \]мы получаем следующую сумму как формулу для двух процессов: \ [\ parallel f_X - u \ parallel = \ sum_ | f_X (\ pi) - u ( \ пи) | . \]мы получаем следующую сумму как формулу для двух процессов: \ [\ parallel f_X - u \ parallel = \ sum_ | f_X (\ pi) - u ( \ пи) | . \]

Теперь применим эту идею к случаю перетасовки. Пусть \ (X \) будет процессом \ (s \) последовательных перемешиваний, применяемых к тождественному порядку. Мы знаем, что можно также думать о \ (X \) как об одном \ (2 ^ s \) - перемешивании. Мы также знаем, что \ (f_X \) постоянна на множестве всех порядков с \ (r \) возрастающими последовательностями, где \ (r \) - любое положительное целое число. Наконец, мы знаем значение \ (f_X \) для упорядочения с \ (r \) восходящими последовательностями, и мы знаем, сколько существует таких порядков. Таким образом, в данном конкретном случае мы имеем

Поскольку эта сумма имеет только \ (n \) слагаемых, это легко вычислить для средних значений \ (n \). Для \ (n = 52 \) получаем список значений, приведенный в таблице [таблица 3.12].

Расстояние до случайного процесса.
1 1
2 1
3 1
4 0,9999995334
5 0,9237329294
6 0,6135495966
7 0,3340609995
8 0,1671586419
9 0,0854201934
10 0,0429455489
11 0,0215023760
12 0,0107548935
13 0,0053779101
14 0,0026890130

Чтобы облегчить понимание этих данных, они показаны в графической форме на рисунке [рис. 3.13]. Программа VariationListвыдает данные, показанные как в таблице [таблица 3.12], так и на рисунке [рис 3.13]. Видно, что до тех пор, пока не будет выполнено 5 перемешиваний, результат \ (X \) будет очень далек от случайного. После 5 перемешиваний расстояние от случайного процесса уменьшается вдвое каждый раз, когда происходит перемешивание.

Учитывая функции распределения \ (f_X (\ pi) \) и \ (u (\ pi) \), как указано выше, существует другой способ просмотра расстояния вариации \ (\ parallel f_X - u \ parallel \). Для любого события \ (T \) (которое является подмножеством \ (S_n \)), мы можем вычислить его вероятность при процессе \ (X \) и при равномерном процессе. Например, мы можем представить, что \ (T \) представляет собой набор всех перестановок, в которых первому игроку в игре в покер с 7 игроками сдается стрит-флеш (пять последовательных карт одной масти). Интересно рассмотреть, насколько вероятность этого события после определенного количества перемешиваний отличается от вероятности этого события, если все перестановки равновероятны. Это различие можно рассматривать как описание того, насколько близок процесс \ (X \) к случайному процессу по отношению к событию \ (T \).

Теперь рассмотрим событие \ (T \) так, чтобы абсолютное значение разницы между этими двумя вероятностями было как можно большим. Можно показать, что эта абсолютная величина представляет собой расстояние вариации между процессом \ (X \) и однородным процессом. (Читателя просят доказать этот факт в упражнении [упражнение 3.3.4].)

Мы только что видели, что для колоды из 52 карт расстояние вариации между процессом перетасовки с 7 повторениями и случайным процессом составляет примерно \ (. 334 \). Представляет интерес найти такое событие \ (T \), что разница между вероятностями, создаваемыми двумя процессами \ (T \), близка к \ (. 334 \). Событие с этим свойством можно описать в терминах игры под названием New-Age Solitaire.

Пасьянс Нью-Эйдж

Эта игра была изобретена Питером Дойлом. Играется стандартной колодой из 52 карт. Мы выкладываем карты лицом вверх по одной в стопку сброса. Если встречается туз, скажем туз червей, мы используем его, чтобы начать стопку сердец. Каждая стопка мастей должна быть выстроена по порядку, от туза до короля, используя только последовательно сданные карты. После того, как мы раздали все карты, мы берем стопку сброса и продолжаем. Мы определяем масти Инь как Сердца и Трефы, а масти Ян - как Бубны и Пики. Игра заканчивается, когда либо собраны обе стопки мастей Инь, либо обе стопки мастей Ян. Ясно, что если порядок в колоде производится случайным образом, то вероятность того, что стопки мастей Инь будут собраны первыми, составляет ровно 1/2.

Теперь предположим, что мы покупаем новую колоду карт, ломаем печать на упаковке и тасуем колоду 7 раз. Если попробовать это, то обнаружится, что масти Инь выигрывают примерно в 75% случаев. Это на 25% больше, чем мы получили бы, если бы колода была действительно случайной. Это отклонение достаточно близко к теоретическому максимуму в \ (33,4 \)%, полученному выше.

Почему костюмы Инь так часто выигрывают? В новой колоде карт масти расположены в следующем порядке, сверху вниз: от туза до короля червей, от туза до короля треф, от короля до туза бубен и от короля до туза пик. Обратите внимание, что если карты вообще не перетасовывались, то стопки мастей Инь были бы собраны при первом проходе, прежде чем карты масти Ян даже будут видны. Если бы мы продолжали играть в игру до тех пор, пока не будут собраны стопки костюмов Ян, для этого потребовалось бы 13 проходов через колоду. Таким образом, можно видеть, что в новой колоде масти Инь находятся в наиболее выгодном порядке, а масти Ян - в наименее выгодном. При 7 перестановках относительное преимущество иньских мастей над янскими в некоторой степени сохраняется.

Учитывая любой порядок \ (\ sigma \) для \ (\ \), мы можем определить \ (\ sigma ^ \), обратный порядок \ (\ sigma \), чтобы быть порядком, в котором \ (i \) -й элемент является позицией, занимаемой \ (i \) в \ (\ sigma \). Например, если \ (\ sigma = (1, 3, 5, 2, 4, 7, 6) \), то \ (\ sigma ^ = (1, 4, 2, 5, 3, 7 , 6) \). (Если рассматривать эти порядки как перестановки, то \ (\ sigma ^ \) является обратным \ (\ sigma \).)

A встречается между двумя позициями в порядке, если левая позиция занята большим числом, чем правая позиция. Удобно будет сказать, что у каждой заявки падение после последней позиции. В приведенном выше примере \ (\ sigma ^ \) имеет четыре водопада. Они появляются после второй, четвертой, шестой и седьмой позиций. Докажите, что количество восходящих последовательностей в упорядочении \ (\ sigma \) равно количеству падений в \ (\ sigma ^ \).

Отвечать

Добавьте сюда текст ответа, и он будет автоматически скрыт, если на странице активен шаблон «AutoNum».

Покажите, что если мы начнем с тождественного упорядочения \ (\ \), то вероятность того, что \ (a \) - перемешивание приведет к упорядочиванию ровно с \ (r \) восходящие последовательности равны \ [

Отвечать

Добавьте сюда текст ответа, и он будет автоматически скрыт, если на странице активен шаблон «AutoNum».

Пусть \ (D \) - колода из \ (n \) карт. Мы видели, что есть \ (a ^ n \) \ (a \) - перетасовки \ (D \). Кодирование множества \ (a \) - расстановок было дано в доказательстве теоремы [thm 3.3.1]. Теперь мы дадим кодировку \ (a \) - перемешивания, которая соответствует кодировке \ (a \) - перемешивания. Пусть \ (S \) будет набором всех \ (n \) - кортежей целых чисел, каждый от 0 до \ (a-1 \). Пусть \ (M = (m_1, m_2, \ ldots, m_n) \) - любой элемент из \ (S \). Пусть \ (n_i \) будет количеством \ (i \) в \ (M \) для \ (0 \ le i \ le a-1 \). Предположим, что мы начали с колоды в порядке возрастания (т. Е. Карты пронумерованы от 1 до \ (n \)). Мы помечаем первые \ (n_0 \) карты нулем, следующие \ (n_1 \) карты - 1 и т. Д.Тогда тасование \ (a \), соответствующее \ (M \), представляет собой тасование, в результате которого карты с меткой \ (i \) помещаются в позиции в \ (M \), содержащие метку \ ( я\). Карты с одинаковой этикеткой размещаются на этих позициях в порядке возрастания их номеров. Например, если \ (n = 6 \) и \ (a = 3 \), пусть \ (M = (1, 0, 2, 2, 0, 2) \). Тогда \ (n_0 = 2, \ n_1 = 1, \) и \ (n_2 = 3 \). Итак, мы помечаем карты 1 и 2 цифрой 0, карту 3 - цифрой 1, а карты 4, 5 и 6 - цифрой 2. Затем карты 1 и 2 помещаются в позиции 2 и 5, карта 3 помещается в позицию 1, а карты 4, 5 и 6 помещаются в позиции 3, 4 и 6, в результате получается порядок \ ((3, 1, 4, 5, 2, 6) \).2, 2, 0, 2) \). Тогда \ (n_0 = 2, \ n_1 = 1, \) и \ (n_2 = 3 \). Итак, мы помечаем карты 1 и 2 цифрой 0, карту 3 - цифрой 1, а карты 4, 5 и 6 - цифрой 2. Затем карты 1 и 2 помещаются в позиции 2 и 5, карта 3 помещается в позицию 1, а карты 4, 5 и 6 помещаются в позиции 3, 4 и 6, в результате получается порядок \ ((3, 1, 4, 5, 2, 6) \).2, 2, 0, 2) \). Тогда \ (n_0 = 2, \ n_1 = 1, \) и \ (n_2 = 3 \). Итак, мы помечаем карты 1 и 2 цифрой 0, карту 3 - цифрой 1, а карты 4, 5 и 6 - цифрой 2. Затем карты 1 и 2 помещаются в позиции 2 и 5, карта 3 помещается в позицию 1, а карты 4, 5 и 6 помещаются в позиции 3, 4 и 6, в результате получается порядок \ ((3, 1, 4, 5, 2, 6) \).

    Используя это кодирование, покажите, что вероятность того, что при \ (a \) - перемешивании первая карта (т. Е. Карта номер 1) переместится на \ (i \) -ю позицию, определяется следующим выражением: \ [

Добавьте сюда текст ответа, и он будет автоматически скрыт, если на странице активен шаблон «AutoNum».

Пусть \ (X \) обозначает конкретный процесс, который производит элементы \ (S_n \), и пусть \ (U \) обозначает равномерный процесс. Обозначим функции распределения этих процессов через \ (f_X \) и \ (u \) соответственно. Покажите, что расстояние вариации \ (\ parallel f_X - u \ parallel \) равно \ [\ max_ \ sum_ \ Bigl (f_X (\ pi) - u (\ pi) \ Bigr). \]

: Запишите перестановки в \ (S_n \) в порядке убывания разности \ (f_X (\ pi) - u (\ pi) \).

Отвечать

Добавьте сюда текст ответа, и он будет автоматически скрыт, если на странице активен шаблон «AutoNum».

A Рассмотрим процесс, описанный в тексте, в котором \ (n \) - колода карт неоднократно помечается и 2-перетасовывается, как описано в доказательстве теоремы [thm 3.3.1]. (См. Рисунки [рис. 3.12] и [рис. 3.13].) Процесс продолжается до тех пор, пока все этикетки не станут разными. Покажите, что процесс никогда не завершится, пока не будет выполнено хотя бы \ (\ lceil \ log_2 (n) \ rceil \) перетасовка.

Отвечать

Добавьте сюда текст ответа, и он будет автоматически скрыт, если на странице активен шаблон «AutoNum».

Сергей Иващенко

08.09.2021

Подписывайтесь на наши социальные сети!